Che io sappia, è letteralmente la stessa organizzazione che può usare 3 simboli diversi, e l'adozione della mezzaluna risale tipo all'800... con l'allora impero ottomano che si rifiutò di usare il simbolo cristiano della croce e chiese di poter utilizzare la mezzaluna.
D'altra parte sono sicuro che sei agli imperi cristiani dell'800 avessero detto di utilizzare un simbolo musulmano, nessuno avrebbe mai sollevato obiezioni, giusto?